Pojęcie funkcji. Dziedzina i przeciwdziedzina

W otaczającej nas rzeczywistości zarówno fizycznej jak i społecznej, występuje wiele zależności pomiędzy różnymi zjawiskami, obiektami czy wielkościami. Na przykład, podczas jazdy samochodem długość przebytej drogi zależy od czasu podróży. Każdej chwili odpowiada, przebyta dotąd droga. W sytuacji, gdy jedziemy ze stałą prędkością dystans ten możemy bardzo łatwo obliczyć mnożąc prędkość przez czas.

W sytuacji realnej najczęściej prędkość jest zmienna, jedziemy raz szybciej raz wolniej, co parę godzin zatrzymujemy się, jednakże i wówczas każdej chwili podróży możemy przyporządkować liczbę przejechanych kilometrów. Jako przykłady z innej dziedziny zauważmy, że każdemu członkowi danej społeczności (np. każdemu obywatelowi Polski) odpowiada jego data urodzenia.

Każdemu obywatelowi nadawany jest też numer identyfikacyjny PESEL, a każdemu studentowi danego wydziału AGH odpowiada numer jego indeksu (tzw. numer albumu). We wszystkich wspomnianych przykładach mamy do czynienia z odpowiedniością pomiędzy elementami dwóch zbiorów $ X $ oraz $ Y $ .

W przypadku podróży $ X $ oznacza przedział liczbowy określający czas jazdy od chwili początkowej, która może być przyjęta umownie, jako czas $ t=0 $ do końca podróży $ t=T $ . Możemy wówczas zapisać $ X=[0,T] $ ). $ Y $ to zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych wyrażających długość przebytej drogi (np. w kilometrach). W drugim i trzecim przykładzie $ X $ jest zbiorem wszystkich obywateli RP, a w czwartym zbiorem wszystkich studentów wydziału.

Zauważmy, że we wszystkich tych przypadkach każdemu elementowi $ x $ ze zbioru $ X $ odpowiada tylko jeden elementy ze zbioru $ Y $. Faktycznie, jeden człowiek nie może mieć dwóch różnych dat urodzenia, w każdej chwili podróży stwierdzamy, że przejechaliśmy konkretną liczbę kilometrów itd.Ta jedyność elementu $ y $ odpowiadającego danemu elementowi x ma kluczowe znaczenie w pojęciu funkcji.

Definicja 1: Funkcja

Niech będzą dane niepuste zbiory $ X $ i $ Y $.

Funkcją odwzorowującą zbiór $ X $ w zbór $ Y $ (co zapisujemy $ f:X\to Y $) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi $ x $ ze zbioru $ X $ dokładnie jednego elementu $ y $ ze zbioru $ Y $. Element $ x $ ze zbioru $ X $ nazywamy argumentem funkcji a jedyny element $ y $ ze zbioru $ Y $, który został przyporządkowany elementowi $ x $ oznaczamy przez $ f(x) $ i nazywamy wartością funkcji $ f $ dla argumentu $ x $.

Zbiór $ X $ nazywamy dziedziną funkcji $ f $ i oznaczamy przez $ D_f $. Zbiór obrazów wszystkich argumentów czyli zbiór elementów $ \{f(x):x\in X\} $ nazywamy przeciwdziedziną lub zbiorem wartości funkcji $ f $ i oznaczamy $ \mathbb R_f $. Przeciwdziedzina jest zawsze podzbiorem zbioru $ Y $. $Funkcja {OPENAGHMATHJAX()}f:X\to Y{OPENAGHMATHJAX}$

Rysunek 1: Funkcja $ f:X\to Y $

Uwaga 1: Oznaczenia i nazewnictwo

Gdy mówimy o jednej funkcji, oznaczamy ją pojedynczą literą (tu literą $ f $, natomiast gdy rozważamy więcej funkcji, możemy zastosować zapis indeksowany $ f_1 $, $ f_2 $, $ f_3 $. itd. lub użyć innych liter np. $ g $, $ h $, $ u $, $ v $. Przez $ f(x) $ (co odczytujemy : „ $ f $ od $ x $”) oznaczamy wartość funkcji $ f $ dla elementu $ x $. Często mówimy też, że $ f(x) $ jest wartością funkcji w punkcie $ x $, chociaż w ogólnym przypadku element x z punktem w sensie geometrycznym może nie mieć nic wspólnego (tak właśnie jest w przykładzie z Peselem, gdzie $ x $ oznacza człowieka). Czasami też na $ f(x) $ używa się określenia: „obraz elementu $ x $ przez funkcję $ f $”.

Jeżeli zbiory $ X $ i $ Y $ są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych $ \mathbb R $ to mówimy, że $ f $ jest funkcją rzeczywistą (myśląc o jej wartości ze zbioru liczb rzeczywistych) zmiennej rzeczywistej (myśląc o jej argumentach ze zbioru liczby rzeczywistych). Możemy, więc zanotować następującą definicję.

Definicja 2: Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej

Niech $ X $ oraz $ Y $ będą niepustymi podzbiorami liczb rzeczywistych $ \mathbb R $.

Funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej prowadzącą ze zbioru $ X $ w zbiór $ Y $ (co zapisujemy $ f:X\to Y $) nazywamy przyporządkowanie każdej liczby $ x $ ze zbioru $ X $ dokładnie jednej liczby $ y $ ze zbioru $ Y $. $Funkcja rzeczywista {OPENAGHMATHJAX()}f:X\to Y{OPENAGHMATHJAX}$

Rysunek 2: Funkcja rzeczywista $ f:X\to Y $

Uwaga 2:

Definicje $ 1 $ i $ 2 $ określają funkcje w sposób dynamiczny. Zbiór $ X $ możemy traktować jako zbiór wyjściowy, początkowy zbiór danych a funkcję jako narzędzie do przetwarzania jego elementów w elementy zbioru końcowego $ Y $.

Uwaga 3:

W obu przedstawionych powyżej definicjach występuje słowo przyporządkowanie, które choć intuicyjnie jasne nie jest precyzyjnie określone. Nie ma tego mankamentu definicja wykorzystująca pojęcie pary uporządkowanej $ (a, b) $. Choć początkowo może ona wydawać się mniej intuicyjna, nie jest trudna i wyraźnie podkreśla zasadniczą własność każdej funkcji, jaką jest powiązanie każdego argumentu $ x $ z dokładnie jedną wartością $ y $.

Definicja 3: Teoriomnogościowa definicja funkcji

Niech $ X $ i $ Y $ będą dowolnymi niepustymi zbiorami.

Funkcją o dziedzinie $ X $ i wartościach ze zbioru $ Y $ nazywamy zbiór $ f $ par uporządkowanych $ (x, y) $ takich, że pierwszy element pary należy do zbioru $ X $, a drugi do zbioru $ Y $ oraz zbiór par spełnia tzw. warunek prawostronnej jednoznaczności tzn. dla każdego elementu $ x $ ze zbioru $ X $ w zbiorze par $ f $ jest tylko jedna para mająca $ x $ na pierwszym miejscu.

Uwaga 4:

Warunek prawostronnej jednoznaczności oznacza, że jeżeli pary $ (x_1, y_1) $ oraz $ (x_1, y_2) $ należą do rozważanego zbioru par wówczas elementy $ y_1 $, $ y_2 $ stojące po prawie stronie tych par muszą być równe.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka